SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk ax + by = c dan dx + ey = f atau biasa ditulis

Maka dikatakan dua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear dua variabel. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Penyelesaian masalah sistem persamaan linear dua variabel bisa dilakukan dengan 4 cara yaitu :Metode grafik, Metode subtitusi, Metode eliminasi, Metode gabungan $\left( \textbf{eliminasi dan subtitusi} \right)$

1. Metode Grafik

Langkah-langkah penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan metode grafik adalah sebagai berikut: 

1. Tentukan titik potong masing-masing persamaan dengan sumbu X dan Y: Gunakan masing-masing persamaan untuk menentukan nilai x ketika y=0 (titik potong sumbu X) dan nilai y ketika x=0 (titik potong sumbu Y).

2. Gambar grafik garis dari kedua persamaan pada bidang koordinat: Hubungkan titik potong sumbu X dan Y untuk masing-masing persamaan dengan garis lurus.

3. Tentukan titik potong kedua garis: Titik potong kedua garis tersebut merupakan penyelesaian SPLDV.

4. Tuliskan himpunan penyelesaian: Himpunan penyelesaian adalah koordinat titik potong yang telah ditentukan.

Contoh soal

Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berikut : x + y = 5 dan x - y = 1

Langkah 1

Cari titik potong masing - masing persamaan :

x + y = 5

Titik potong dengan  sumbu X $\to $ y = 0  

x + 0 = 5

x       = 5

Jadi titik potong dengan sumbu X adalah $\left( 5,0 \right)$

Titik potong dengan  sumbu Y $\to $ x = 0 

0 + y = 5

      y = 5

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah $\left( 0,5 \right)$

x - y = 1

Titik potong dengan  sumbu X $\to $ y = 0  

x - 0 = 1

x       = 1

Jadi titik potong dengan sumbu X adalah $\left( 1,0 \right)$

Titik potong dengan  sumbu Y $\to $ x = 0 

0 - y = 1

   - y = 1

     y = - 1

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah $\left( 0, - 1 \right)$

Langkah 2

gambar grafik dari 2 persamaan tersebut!

Langkah 3 dan 4

dari grafik tampak bahwa titik potong kedua garis tersebut adalah $\left( 3,2 \right)$

jadi himpunan penyelelesaian dari SPLDV x + y = 5 dan x - y = 1 adalah {$\left( 3,2 \right)$}

2. Metode Subtitusi

Langkah-langkah metode substitusi dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel  adalah sebagai berikut:

1. Ubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d. 

2. Substitusikan nilai x atau y yang diperoleh ke persamaan yang lain. 

3. Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai salah satu variabel.

4. Substitusikan nilai variabel yang diketahui ke salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai variabel yang lainnya

Contoh Soal

Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berikut : 2x + 3y = 6 dan x - y = 3

Penyelesaian

Persamaan 1 : 2x + 3y = 6

Persamaan 2 : x - y = 3 diubah menjadi  x = y + 3

Subtitusi persamaan 1 ke persamaan 2

2x + 3y = 6

$2\left( y+3 \right)+3y=6$

2y + 6 + 3y = 6

5y  = 6 - 6

5y = 0

  y = 0

Selanjutnya subtitusikan nilai y = 0 ke persamaan 2

x = y + 3

x = 0 + 3

x = 3

jadi himpunan penyelelesaian dari SPLDV 2x + 3y = 6 dan x - y = 3 adalah {$\left( 3,0 \right)$}

3. Metode Eliminasi

Tentukan penyelesaian dari persamaan 3x+ 5y = 16 , dan 4x + y = 10

Penyelesaian

Langkah yang Pertama yaitu tentukanlah variabelnya yang mana akan di eliminasi terlebih dahulu perhatikan penyelesaian di bawah ini :

3x+ 5y = 16 | x1 | <=> 3x + 5y = 16 . . . . P1
4x + y = 10 | x5 | <=> 20x + 5y = 50 . . . P2

kurangkan nilai dari P1 dan P2, sehingga diperoleh

- 17 x = - 34

      x = -34 / -17

     x = 2

Langkah yang Kedua selanjutnya, marilah kita lakukan langkah yang sama namun kali ini harus sama dengan x nya , maka caranya yaitu sebagai berikut :

3x+ 5y = 16 | x4 | <= > 12 x + 20y = 64 . . .P3

4x + y = 10 | x3 | <=> 12x + 3y = 30 . . . .P4

kurangkan nilai dari P3 dan P4, sehingga diperoleh

17 y =  34

      y = 34 / 17

     y = 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {$\left( 2,2 \right)$}

4. Metode Gabungan

Tentukan penyelesaian dari persamaan x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30

Penyelesaiannya 

Persamaan 1 = x + 3y = 15

Persamaan 2 = 3x + 6y = 30

Langkah pertama : Eliminasi P1 dan P2

x + 3y = 15 | x3| <=> 3x +9y = 45

3x + 6y = 30 | x1| <=> 3x + 6y = 30 _
0 + 3y = 15

y = 5

Langkah kedua : Subtitusi y = 5 ke P1

x + 3y = 15
x + 3.5 = 15
x + 15 = 15
x = 0

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {$\left( 0,5 \right)$}

LATIHAN SOAL

Nomor 1

Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan metode substitusi 

x + y = 8 dan 2x + 3y = 19

Nomor 2

Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:

2x – y = 7 dan x + 2y = 1

Nomor  3

Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode campuran:

x + y = -5 dan x – 2y = 5

Nomor 4

Diketahui sistem persamaan 2x– 3y = 18 dan x + 4y = –2. Nilai x + y =…

Nomor 5

Penyelesaian dari sistem persamaan x – 3y = 1 dan x – 2y = 2 adalah…

Nomor 6

Penyelesaian dari sistem persamaan y = 2x + 5 dan x + 3y = 1 adalah…

Nomor 7

Jika x dan y merupakan penyelesain dari –4x + y = 7 dan x + 2y = 5, maka nilai 3x – y adalah…

Nomor 8

Penyelesaian dari 2x + 3y = 10 dan –3x + y = –4 adalah x = a dan y = b. Nilai dari a – 2b =…

Nomor 9

Penyelesaian sistem persamaan 3x –2y= 12 dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q. Nilai 4p + 3q adalah…

Nomor 10

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2 adalah…

Nomor 11

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier 2y – x = 10 dan 3x + 2y = 29 adalah…

Nomor 12

Tentukan koordinat titik potong antara garis 2x - y = 0 dan garis x + y = -6

Nomor 13

Jika 2x + 5y = 11 dan 4x – 3y = -17. Maka nilai dari 2x – y = …

Nomor 14

Tentukan Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut!

a. $3x+\frac{1}{2}y=7$ dan $\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=2$

b. $\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}y=-4$ dan $\frac{1}{2}x+\frac{1}{5}y=6$

c. $\frac{1}{2}x+\frac{1}{5}y=-1$ dan $\frac{1}{4}x-\frac{1}{5}y=-2$

d. $\frac{1}{2}x+\frac{1}{5}y=1$ dan $\frac{1}{3}x-\frac{1}{5}y=4$

Nomor 15

Tentukan Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut!

a. $\frac{p+2}{3}+q=4$ dan $p-\frac{q+1}{3}=2$

b. $\frac{p-1}{6}+q=6$ dan $p+\frac{q-1}{4}=8$

c. $\frac{3x-1}{4}+2y=4$ dan $\frac{2x+2}{2}+y=5$

Nomor 16

Tentukan Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut!

a. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}$ dan $\frac{2}{x}-\frac{6}{y}=1$

b. $\frac{1}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{2}$ dan $\frac{6}{x}+\frac{4}{y}=-1$

c. $\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=1$ dan $\frac{4}{x}-\frac{4}{y}=3$

d. $\frac{5}{x}+\frac{3}{y}=-2$ dan $\frac{3}{x}+\frac{4}{y}=-\frac{5}{6}$

ULANGAN SPLDV

MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN MASALAH SEHARI-HARI YANG MELIBATKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Langkah - langkah menyelesaiakan soal cerita

1. Mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat matematika (model matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linear dua variabel.

2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.

3. Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita.

Contoh Soal

Harga 1 buku dan 1 pulpen Rp 3.000,-. Jika harga 2 buku dan 3 pulpen Rp 7.000,-. Maka harga 5 pulpen dan 4 buku adalah...

Penyelesaian

Misalkan : x = buku, y = pulpen

$x   +   y = 3000$      | x 2|   $2x + 2y = 6000$ 

$2x + 3y = 7000$      | x 1|   $2x + 3y = 7000$

kurangkan kedua persamaan

$-y=-1000$

$y=1000$

Subtitusi $y=1000$ ke P1

$x+y=3000$

$x+1000=3000$

$x=3000-1000$

$x=2000$

Maka harga 5 pulpen dan 4 buku adalah

$4x+5y$ = $4\left( 2000 \right)+5\left( 1000 \right)$

= $8.000+5000$

= $13.000$

Jadi harga 5 pulpen dan 4 buku adalah $Rp13.000,00$

Latihan Soal

Nomor 1

Umur Melly 7 tahun lebih muda dari umur Ayu. Jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Tentukanlah umur mereka masing-masing!

Nomor 2

Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat uang Rp18.000,00. Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang diperoleh adalah…

Nomor 3

Di dalam kandang terdapat kambing dan ayam sebanyak 13 ekor. Jika jumlah kaki hewan tersebut 32 kaki, maka jumlah kambing dan ayam masing-masing adalah...

Nomor 4

Diketahui harga 5 kg apel dan 3 kg jeruk Rp79.000,00 sedangkan harga 3 kg apel dan 2 kg jeruk Rp49.000,00. Harga 1 kg apel adalah...

Nomor 5

Harga 7 kg gula dan 2 kg telur Rp105.000,00. Sedangkan harga 5 kg gula dan 2 kg telur Rp83.000,00. Harga 3 kg telur dan 1 kg gula adalah…

Nomor 6

Harga 2 baju dan 1 celana Rp230.000,00. Sedangkan harga 3 baju dan 2 celana Rp380.000,00. Harga 1 baju dan 1 celana adalah...

Nomor 7

Nunik membeli 1 kg daging sapi dan 2 kg ayam potong dengan harga Rp94.000,00. Nanik membeli 3 kg ayam potong dan 2 kg daging sapi dengan harga Rp167.000,00. Jika harga 1 kg daging sapi dinyatakan dengan x dan 1 kg ayam dinyatakan dengan y, sistem persamaan linear dua variabel yang berkaitan dengan pernyataan di atas adalah...

Nomor 8

Pada pertunjukan seni terjual 500 lembar karcis yang terdiri dari karcis kelas Ekonomi dan Karcis kelas Utama. Harga karcis kelas Ekonomi adalah Rp. 6000,00 dan kelas Utama adalah Rp. 8000,00 . Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp.3.360.000,00 . berapakah jumlah karcis kelas Ekonomi yang terjual?

Nomor 9

Dea dan Anton bekerja pada pabrik tas. Dea dapat menyelesaikan 3 buah tas setiap jam dan Anton dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam. Jumlah jam kerja Dea dan Anton adalah 16 jam sehari, dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas. Jika, jam kerja keduanya berbeda tentukan jam kerja mereka masing-masing!

Nomor 10

Jumlah dua bilangan adalah 200. Dan selisih bilanga itu adalah 108. Tentukan lah bilangan yang paling besar diantara keduanya.

Nomor 11

Aldi membeli 4 buku dan 5 pensil seharga Rp.24.000,00 . ida membeli 6 buku dan 2 pensil seharga Rp. 27.200,00. Jika Mira ingin membeli 3 buku dan 2 pensil berapa yang harus dibayar Mira?

Nomor 12

Sebuah toko menjual dua jenis tepung sebanyak 50 kg. Tepung jenis I seharga Rp.6000,00 dan Tepung jenis II seharga Rp. 6.200,00. Seluruh tepung habis terjual dan pedagang mendapatkan Rp. 306.000,00. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut!

Nomor 13

Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?

Nomor 14

Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya 34 tahun. Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yang akan datang.

Nomor 15

Rina membeli 8 buku dan 6 pensil, sedangkan Ria membeli 6 buku dan 5 pensil di toko yg sama. Jika Rina harus membayar Rp 14.400 dan Ria harus membaya Rp 11.200. Maka berapakah yang harus dibayar oleh Nia jika membeli membeli 5 buku dan 8 pensil ?

Nomor 16

A dan B memiliki sejumlah uang. Apabila A memberikan Rp30.000,00 pada B maka uang B = 3 kali uang A. apabila B memberikan Rp10.000,00 pada A, maka uang A = 3 kali uang B, maka uang A dan B berturut-turut adalah?

Nomor 17

Pada suatu penangkaran terdapat burung pipit dan burung dara. Ketika 5 burung pipit dilepaskan, jumlah burung dara dua kali burung pipit yang tersisa. Kemudia, ketika 25 ekor burung dara dilepaskan, burung pipit yang tersisa adalah 3 kali burung dara yang tersisa.Tentukan jumlah burung pipit semula!

Nomor 18

Sebanyak 202 murid SMP Tunas Bakti pergi camping dan bermalam di dalam tenda. Total tenda yang mereka bawa berjumlah 60 tenda, yang terdiri dari tenda berkapasitas 2 orang dan tenda berkapasitas 4 orang. apabila semua murid tidur di dalam tenda dan tenda berisi anak sesuai kapasitas maksimum dari tenda tersebut, maka tentukan  jumlah tenda yang berkapasitas 4 orang!

LATIHAN ULANGAN SOAL CERITA

Nomor 1

Harga 7 ekor ayam dan 6 ekor itik adalah Rp67.250, sedangkan harga 2 ekor ayam dan 3 ekor itik Rp25.000. Tentukan harga seekor ayam!

Nomor 2

Harga 4 kaos dan 3 baju sebesar Rp145.000, harga 2 kaos dan 4 baju adalah Rp135.000. Tentukan harga 5 baju dan 5 kaos!

Nomor 3

Di sebuah tempat parkir terdapat 84 kendaraan yang terdiri atas sepeda motor dan mobil. Setelah dihitung jumlah roda seluruhnya ada 220 buah. Jika tarif parkir untuk sepeda motor Rp1.000 dan mobil Rp2.000. Besar uang yang diterima tukang parkir adalah?

Nomor 4

Sebuah bilangan terdiri dari 2 digit. Jumlah angka-angka bilangan itu adalah 9, jika angka-angka pada bilangan itu dipertukarkan akan diperoleh bilangan yang besarnya 3/8 bilangan semula. Bilangan tersebut adalah?

Nomor 5

Jumlah dan selisih dua bilangan masing-masing 12 dan 4. Selisih kuadrat kedua bilangan itu adalah?

Nomor 6

Di tempat parkir terdapat 75 kendaraan terdiri dari mobil dan sepeda motor. Banyak roda seluruhnya ada 210. Jika tarif parkir untuk mobil Rp4.000 dan sepeda motor Rp2.000. Tentukan pendapat tukang parkir tersebut!

Nomor 7

Andi berbelanja di toko buku. Ia membeli 4 buah buku tulis dan 1 buah pensil, Andi harus membayar sejumlah Rp5.600. Di toko buku yang sama, Budi membeli 5 buah buku tulis dan 3 buah pensil, jumlah uang yang harus dibayar Budi sebesar Rp8.400. Model matematika dari permasalahan tersebut adalah...

Nomor 8

Selisih umur seorang ayah dan anaknya adalah 26 tahun. Sedangkan 5 tahun yang lalu jumlah umur keduanya adalah 34 tahun. Tentukan jumlah umur ayah dan anak dua tahun yang akan datang!

Nomor 9

Lisa dan Muri bekerja pada pabrik tas. Lisa dapat menyelesaikan 3 buah tas setiap jam dan Muri dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam. Jumlah jam kerja Lisa dan Muri adalah 16 jam sehari dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas. Jika jam kerja keduanya berbeda, tentukan jam kerja mareka masing-masing!

Nomor 10

Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 44 cm. Jika lebarnya 6 cm lebih pendek dari panjangnya. Tentukan luas persegi panjang tersebut!

Nomor 11

Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 mobil dan 2 motor ia mendapat Rp18.000. Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor , tentukan banyak uang parkir yang diperoleh!

Nomor 12

Diketahu harga 4 buah buku tulis dan 2 buah pensil Rp13.000, sedangkan harga 3 buah buku tulis dan sebuah pensil Rp9.000. tentukan harga 5 buah buku tulis dan 2 buah pensil!

Nomor 13

Harga 2 pensil dan 3 penggaris Rp6.000, sedangkan harga 4 pensil dan 2 penggaris Rp8.000. Harga 3 pensil dan 2 penggaris adalah?

Nomor 14

Tempat parkir untuk motor dan mobil dapat menampung 30 buah kendaraan. Jumlah roda seluruhnya 90 buah. Jika banyak motor dinyatakan dengan $x$ dan mobil dinyatakan dengan $y$ , sistem persamaan linear dua variabel dari pernyataan di atas adalah?

Nomor 15

Fitra membeli 3 buku dan 2 pensil seharga Rp11.500. Prilly membeli 4 buku dan 3 pensil dengan harga Rp16.000. Jika Ika membeli 2 buku dan 1 pensil, jumlah uang yang harus dibayar adalah...

Nomor 16

Harga 3 kg apel dan 5 kg jeruk adalah Rp85.000. Harga 5 kg apel dan 7 kg jeruk adalah Rp123.000. Tentukan harga 1 kg apel dan 1 kg jeruk.

Nomor 17

Harga dua baju dan satu kaos Rp170.000, sedangkan harga satu baju dan tiga kaos adlah Rp185.000. Tentukan harga tiga baju dan dua kaos!

Nomor 18

Ana membeli 3 peniti dan 4 benang dengan harga Rp2.050. Anti membeli 1 peniti dan 3 benang dengan harga Rp1.350. Tentukan harga 10 benang dan 5 peniti!

ULANGAN SPLDV

 

  SELAMAT MENGERJAKAN