MATEMATIKA KELAS 9 TRANSFORMASI GEOMETRI

 

Transformasi  adalah perubahan, bisa perubahan posisi atau ukuran.

Geometri  sesuatu yang berhubungan dengan titik, garis atau bidang.

Jadi Transformasi Geometri  adalah suatu perubahan posisi atau ukuran pada titik, garis atau bidang. 

Misalnya posisi awal $ \left ( x,y \right )$ ketika mengalami transfirmasi posisinya menjadi $ \left ( x',y' \right )$

Jenis-jenis Transformasi Geometri ada 4, yaitu :

1. Translasi atau pergeseran
2. Refleksi atau pencerminan
3. Rotasi atau perputaran
4. Dilatasi

$TRANSLASI\left ( PERGESERAN \right )$

Translasi adalah perpindahan $\left ( Pergeseran \right )$ suatu objek. Jika dinyatakan dalam koordinat Cartesius, translasi merupakan perpindahan titik-titik koordinat dari suatu objek ke arah dan jarak tertentu. Translasi biasanya disimbolkan dengan huruf  T

Rumus Umum Translasi

LATIHAN SOAL

Nomor 1

Tentukan bayangan titik $P\left ( -5,3 \right )$ dan $Q\left ( 3,5 \right )$ masing-masing pada translasi berikut!

a. $\left ( \begin{matrix}9 \\-6\end{matrix} \right )$

b.$\left ( \begin{matrix}-6 \\-8\end{matrix} \right )$

Nomor 2

Translasi $\left ( \begin{matrix}-3 \\6\end{matrix} \right )$ memetakan $P\left ( 5,5 \right )$ ke $P'$.

Titik $Q'\left ( -2,-1 \right )$ adalah bayangan dari $Q$ pada translasi tersebut.

Tentukan koordinat titik $P'$ dan $Q$, kemudian gambarlah translasi tersebut pada bidang koordinat!

Nomor 3

Pada translasi $A\left ( 8,-4 \right )$ dipetakan ke titik $A'\left ( 0,-2 \right )$.

a. Nyatakan translasi tersebut dengan pasangan berurutan

b. Tentukan bayangan titik $\left ( -4,5 \right )$, $\left ( -3,-4 \right )$, dan $\left ( 5,-2 \right )$ pada translasi tersebut.

Nomor 4

Titik-titik sudut $ \Delta ABC$ adalah $ A\left ( -1,4 \right )$, $ B\left ( -3,-2 \right )$, dan $ C\left ( 3,1 \right )$.

a. Gambarlah $ \Delta ABC$ dan bayangannya pada translasi $\left ( \begin{matrix}4 \\-2\end{matrix} \right )$

b. Tentukan koordinat titik-titik sudut bayangan segitiga tersebut!

Nomor 5

Pada translasi $\left ( \begin{matrix}9 \\b\end{matrix} \right )$, titik $ K\left ( 4a,5b \right )$ dipetakan ke titik $ K'\left ( 21,8-2b \right )$. Tentukan nilai $a$ dan $b$

Nomor 6

Tentukan bayangan dari garis dengan persamaan $2x+y=4$ oleh translasi $\left ( \begin{matrix}5 \\-2\end{matrix} \right )$

Nomor 7

Tentukan bayangan dari garis $3x+2y=6$ oleh translasi-translasi berikut!

a. $\left ( \begin{matrix}4 \\-3\end{matrix} \right )$

b. $\left ( \begin{matrix}-5 \\-2\end{matrix} \right )$

Nomor 8

Tentukan bayangan dari kurva dengan persamaan $y=2x^{2}-7x-4$ jika ditranslasikan oleh $\left ( \begin{matrix}5 \\3\end{matrix} \right )$

Nomor 9

Tentukan koordinat bayangan titik-titik berikut!

a. Bayangan titik $ S\left ( -2,4 \right )$ oleh translasi $\left ( \begin{matrix}-3 \\2\end{matrix} \right )$ dilanjutkan dengan $\left ( \begin{matrix}4 \\1\end{matrix} \right )$

b. Bayangan titk $ T\left ( -3,-5 \right )$ oleh translasi $\left ( \begin{matrix}2 \\-5\end{matrix} \right )$ dilanjutkan dengan $\left ( \begin{matrix}-6 \\-2\end{matrix} \right )$

Nomor 10

Tentukan bayangan objek pada translasi berikut!

a. Bayangan garis $y=8-x$ oleh translasi $\left ( \begin{matrix}5 \\-7\end{matrix} \right )$ dilanjutkan dengan $\left ( \begin{matrix}-9 \\12\end{matrix} \right )$

b. Bayangan kurva $y=x^{2}-6x+7$ oleh tanslasi $\left ( \begin{matrix}2 \\5\end{matrix} \right )$ dilanjutkan dengan $\left ( \begin{matrix}-6 \\-1\end{matrix} \right )$

Nomor 11

Pada translasi $\left ( \begin{matrix}2a \\-a\end{matrix} \right )$, garis $x-2y=4$ menghasilkan bayang garis dengan persamaan $x-2y=16$. Tentukan nilai $a$ pada translasi tersebut!

$REFLEKSI\left ( PENCERMINAN \right )$

Refleksi  adalah perpindahan titik-titik koordinat suatu objek ke arah dan jarak tertentu, namun perpindahannya seperti cermin.

RUMUS REFLEKSI

LATIHAN SOAL

Nomor 1

Tentukan bayangan dari :

a. $ A\left ( 3,5 \right )$ di refleksikan terhadap sumbu $x$

b. $ B\left ( 4,-2 \right )$ di refleksikan terhadap sumbu $y$

c. $ C\left ( 2,-5 \right )$ di refleksikan terhadap  titik asal

d. $ D\left ( -7,2 \right )$ di refleksikan terhadap garis $y=x$

e. $ E\left ( 5,4 \right )$ di refleksikan terhadap garis $y=-x$

f. $ F\left ( 2,-3 \right )$ di refleksikan terhadap garis $x=3$

g. $ G\left ( -1,7 \right )$ di refleksikan terhadap garis $y=4$

Nomor 2

Dengan menggubnakan rumus, tentukan koordinat bayangan titik berikut!

a. $ K\left ( -15,8 \right )$ pada refleksi terhadap garis $y=-6$

b. $ L\left ( -20,-12 \right )$ pada refleksi terhadap garis $y=8$

Nomor 3

Tentukan koordinat bayangan titik $ P\left ( 3,10 \right )$ jika direfleksikan terhadap garis $x=6$, kemudian direfleksikan lagi terhadap garis $x=-8$

Nomor 4

Titik $ R'\left ( 19,-11 \right )$ adalah bayangan dari titik $R$ pada refleksi terhadap garis $x=5$. tentukan koordinat titik $R$

Nomor 5

Tentukan bayangan dari garis $3x-8y=24$ jika direfleksikan terhadap

a. Sumbu-$x$

b. Sumbu-$y$

c. $x=-4$

d. $y=5$

Nomor 6

Garis $y=x-1$ direfleksikan terhadap garis $x=-3$. Jika bayangan garis tersebut memotong sumbu-$x$ di titik $ \left ( a,0 \right )$ dan sumbu-$y$ di titik $ \left ( 0,b \right )$, tentukan nilai $a\times b$

Nomor 7

Tentukan bayangan dari garis $y=2x-3$ jika direfleksikan terhadap garis berikut!

a. $y=x$

b. $y=-x$

$ROTASI\left ( PERPUTARAN \right )$

Rotasi adalah Perubahan posisi suatu titik atau bidang dengan cara diputar dengan sudut tertentu. 

Sifat-Sifat Rotasi

• Rotasi memiliki arah dan besar sudut
• Jika diputar searah jarum jam sudut akan bernilai negatif
• Jika diputar berlawanan arah jarum jam, sudut bernilai positif

Rumus Rotasi

LATIHAN SOAL

Nomor 1

Tentukan bayangan titik-titik berikut pada rotasi dengan posat O!

Nomor 2

Tentukan bayangan objek berikut jika dirotasikan dengan titik pusat

a. Garis $y=x+2$ dirotasokan dengan $90^{0}$ searah perputaran jarum jam.

b. Kurva $y=x^{2}+5$ dirotasikan dengan $90^{0}$ berlawanan arah dengan perputaran jarum jam

c. Kurva $y=x^{2}-8x+2$ dirotasikan $180^{0}$dearah dengan perputaran jarum jam.

$DILATASI$

Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran suatu objek atau benda.

Rumus Umum Dilatasi

LATIHAN SOAL

Nomor 1

Tentukan bayangan titik $P\left ( 8,-5 \right )$ oleh dilatasi $\left [ O,4 \right ]$!

Nomor 2

Tititik $P'\left ( -4,-1 \right )$ adalah hasil dilatasi dari $P\left ( 8,2 \right )$ dengan pusat $O\left ( 0,0 \right )$ dan faktor skala $k$. tentukan faktor skala $k$

Nomor 3

Tentukan bayangan garis $x+y=4$ oleh dilatasi $\left [ O,-2 \right ]$

Nomor 4

Tentukan bayangan titik $P\left ( 8,5 \right )$ oleh dilatasi $\left [ S\left ( 6,9 \right ),2 \right ]$

Nomor 5

Tititik $A'\left ( 18,31 \right )$ adalah hasil dilatasi dari titik $A\left ( -6,3 \right )$, dengan pusat $S\left ( 0,10 \right )$ dan faktor skala $k$. Tentukan faktor skala $k$!

Nomor 6

Tentukan bayangan garis $x-y=10$ pada dilatasi  $\left [ S\left ( 1,-4 \right ),4 \right ]$

LATIHAN SOAL SMP SANMAR SURABAYA

Nomor 1

Tentukan bayangan titik $A\left ( 4,-2 \right )$ jika :

a. Ditranslasikan oleh translasi $\left ( \begin{matrix}-1 \\2\end{matrix} \right )$

b. Ditranslasikan oleh translasi $\left ( \begin{matrix}2 \\-3\end{matrix} \right )$ dilanjutkan oleh translasi $\left ( \begin{matrix}4 \\-1\end{matrix} \right )$

c. Direfleksikan terhadap sumbu $x$

d. Direfleksikan terhadap sumbu $y$

e. Direfleksikan terhadap garis $y=-2$

f. Direfleksikan terhadap garis $y=1$

g. Direfleksikan terhadap terhadap sumbu $y$ dilanjutkan terhadap sumbu $x$

h. Ditranslasikan oleh translasi $\left ( \begin{matrix}-3 \\1\end{matrix} \right )$ dilanjutkan refleksi terhadap garis $y=3$

i. Direfleksikan terhadap garis $y=x$

j. Direfleksikan terhadap garis $y=-x$

k. Direfleksikan terhadap titik pusat

Nomor 2

Tentukan bayangan garis $3x-2y=1$ karena :

a. Ditranslasikan oleh translasi $\left ( \begin{matrix}-2 \\3\end{matrix} \right )$

b. Direfleksikan terhadap garis $x=2$

c. Direfleksikan terhadap sumbu $x$

d. Direfleksikan terhadap garis $y=-x$

Nomor 3

Nomor 4

Tentukan bayangan objek berikut jika dirotasikan dengan titik pusat

a. Garis $y=x+2$ dirotasikan $90^{0}$ searah perputaran jarum jam

b. Kurva $y=x^{2}-8x+2$ dirotasikan $90^{0}$ berlawanan dengan perputan jarum jam

Nomor 5

Tentukan bayangan titik $P\left ( -12,16 \right )$ oleh :

a. Dilatasi $\left [ O,\frac{1}{4} \right ]$

b. Dilatasi $\left [ S\left ( -2,3 \right ),-\frac{1}{2} \right ]$

Nomor 6

Tentukan bayangan kurva $y=f\left ( x \right )$ oleh dilatasi $\left [ S\left ( x,y \right ),k \right ]$ jika diketahui :

a. Kurva $y=x-5$, Pusat $O\left ( 0,0 \right )$, dan $k=3$

b. Kurva $y=x^{2}-1$, $S\left ( 2,5 \right )$ dan $k=\frac{1}{2}$

LATIHAN ULANGAN 1

Nomor 1

Diketahui $ P'\left ( 3,-13 \right )$ adalah bayangan titik $P$ oleh translasi $T=\begin{pmatrix} -10\\7\end{pmatrix}$. Koordinat titik $P$ adalah ...

Nomor 2

Bayangan titik $P\left ( a,b \right )$ oleh rotasi terhadap titik pusat $P\left ( 0,0 \right )$ sebesar $-90^{0}$ adalah $P'\left ( -10,-2 \right )$. Nilai dari $a+2b$ = ...

Nomor 3

Bayangan titik $A$  dengan $A\left ( -1,4 \right )$ jika direfleksikan terhadap garis $y=-x$ adalah ...

Nomor 4

Bayangan titik $P\left ( 5,4 \right )$ jika didilatasikan terhadap pusat $\left ( -2,-3 \right )$ dengan faktor skala $-4$ adalah ...

Nomor 5

Titik $B\left ( 3,-2 \right )$ dirotasikan sebesar $90^{0}$ terhadap titik pusat $P\left ( -1,1 \right )$. Bayangan titik $B$ adalah ...

Nomor 6

Bayangan titik $P\left ( 2,-3 \right )$ oleh rotasi $R\left [ O,90^{0} \right ]$ adalah ...

Nomor 7

Diketahui koordinat titik $P\left ( -8,12 \right )$. Dilatasi $\left [ P,1 \right ]$, memetakan titik $\left ( -4,8 \right )$ ke titik ...

Nomor 8

Bayangan titik $B\left ( 4,8 \right )$ direfleksikan terhadap sumbu $X$ kemudian dilanjutkan dengan dilatasi $\left [ O,\frac{1}{2} \right ]$ adalah ...

Nomor 9

Bayangan titik $P\left ( -4,5 \right )$ oleh refleksi terhadap garis $y=-x$ dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis $x=2$ adalah ...

Nomor 10

Jika persamaan garis lurus $y=2x+3$, maka persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi $T=\begin{pmatrix}3 \\2\end{pmatrix}$ adalah ...

Nomor 11

Garis $y=2x-3$ ditreanslasikan oleh translasi $T=\begin{pmatrix}-2 \\3\end{pmatrix}$. Persamaan bayangan garis tersebut adalah ...

Nomor 12

Tentukan bayangan garis $y=3x-5$ oleh translasi $T=\begin{pmatrix}-2 \\1\end{pmatrix}$

Nomor 13

Tentukan bayangan garis $2x-y=5$ apabila dicerminkan terhadap garis $x=-1$

Nomor 14

Tentukan bayangan garis $2x-y=5$ apabila dicerminkan terhadap garis $y=-x$

Nomor 15

Tentukan bayagan garis $y=5x+4$ oleh rotasi $R\left ( O,-90 \right )$

LATIHAN ULANGAN 2

Nomor 1

Segitiga $KLM$ dengan $K\left ( 6,4 \right )$, $L\left ( 3,-1 \right )$, $M\left ( 2,-2 \right )$ didlatasi dengan pusat $\left ( -2,3 \right )$ dan faktor skala $4$. Koordinat bayangan $\Delta KLM$ adalah ...

Nomor 2

Segitiga $ABC$ dengan titik $A\left ( -2,3 \right )$, $B\left ( 2,3 \right )$, $C\left ( 0,-4 \right )$ didilatasi dengan pusat O dan faktor skala $4$. Luas segitiga setelah didilatasi adalah ...

Nomor 3

Bayangan garis $3x-y+2=0$ apabila dicerminkan terhadap garis $y=x$ dan dilanjutkan dengan rotasi $90^{0}$ dengan pusat O adalah ...

Nomor 4

Garis $3x+2y=6$ ditranslasikan oleh $T=\begin{pmatrix}3 \\-4\end{pmatrix}$, lalu dilanjutkan dilatasi dengan pusata O dan faktor skala $2$. Hasil bayangan transformasinya adalah ...

Nomor 5

Bayangan kurva $y=x^{2}+3x+3$ jika dicerminkan terhadap sumbu $X$, lalu dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala $3$ adalah ...

Nomor 6

Jika segiempat $ABCD$ didilatasi menjadi $A'B'C'D'$ seperti gambar, maka faktor skala yang sesuai adalah ...

Nomor 7

Jika $A'\left ( -4,5 \right )$ adalah bayangan dari titik $A$ hasil pencerminan terhadap garis $x=-1$, koordinat titik $A$ adalah ...

Nomor 8

Jika $A\left ( 0,4 \right )$ dicerminkan berturut-turut terhadap garis $x=2$ dan garis $y=1$ bayagan terkahir titik $A$ adalah ...

Nomor 9

Diketahu suatu pencerminan dari $A\left ( 1,4 \right )$ ke $A'\left ( -7,4 \right )$. Persamaan garis yang mencerminkan titik $A$ ke titik $A'$ adalah ...

Nomor 10

Jika $P'\left ( 6,-30 \right )$ adalah bayangan dari titik $P$ oleh dilatasi $D\left [ \left ( 0,9 \right ),k=\frac{2}{3} \right ]$, koordinat titik $P$ adalah ...

Nomor 11

Dari pelabuhan $O$, sebuah kapal bergerak 120 mil ke arah Timur, kemudian melanjutkan 40 mil ke Selatan menuju pelabuhan A. Dari pelabuhan A, kapal tersebut melanjutkan perjalanan berikutnya menuju pelabuhan B dengan bergerak 40 mil ke arah Barat dilanjutkan 100 mil ke Utara.

a. Buatlah rute perjalanan kapal tersebut?

b. Tentukan posisi akhir kapal tersebut

c. Tentukan jarak pelabuhan $O$ dengan pelabuhan B

Nomor 12

Sebuah kapal bergerak dari pelabuhan Ake arah Timur sejauh 120 km, dilanjutkan ke arah Selatan sejauh 150 km, kemudian dilanjutkan lagi ke arah Barat sejauh 80 km, dan terakhir ke arah Utara sejauh 100 km untuk sampai ke pelabuhan B. Jika koordinat pelabuhan A adalah $\left ( -20,45 \right )$, maka :

a. Gambarlah rute perjalanan kapal itu

b. Translasi dari pelabuhan A ke B

c. koordinat pelabuhan B