MATEMATIKA KELAS 9 PERSAMAAN KUADRAT

 

BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum presamaan kuadrat dalam $x$ adalah 

$ ax^{2}+bx+c=0$, dengan $a\neq 0$

$a$ : koefisien dari $x^{2}$

$b$ : koefisien dari $x$

$c$ : konstanta

AKAR ATAU PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT

Untuk menentukan akar atau penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu :

1. Memfaktorkan

2. Melengkapkan kuadrat sempurna

3. Rumus $abc$

1. MEMFAKTORKAN

Untuk sembarang bilangan real $p$ dan $q$, selalu berlaku

$p,\,q\,\in R$, dan $pq = 0$, maka $p=0$ atau $q=0$

LATIHAN SOAL

Nomor 1

Tentukan akar atau penyelesaian dari persamaan-persamaan kuadrat berikut!

a. $x\left ( x+4 \right )=0$

b. $y\left ( 2y-6 \right )=0$

c. $2x\left ( x+7 \right )=0$

d. $\left ( x+2 \right )\left ( x+5 \right )=0$

e. $\left ( y-4 \right )\left ( y-5 \right )=0$

Nomor 2

Tentukan penyelesaian persamaan-persamaan berikut dengan cara memfaktorkan

a. $x^{2}+8x=0$

b. $7x^{2}-21x=0$

c. $8x^{2}-12x=0$

d. $y^{2}-64=0$

e. $y^{2}-144=0$

f. $9y^{2}-49=0$

g. $16y^{2}-225=0$

h. $x^{2}-5x-24=0$

i. $x^{2}-x-72=0$

j. $x^{2}+21x=72$

k. $x^{2}-16x+15=0$

l. $p^{2}+16p+64=0$

m. $p^{2}-26p+120=0$

n. $18+7p-p^{2}=0$

o. $21-20x-x^{2}$

p. $4x^{2}+12x+5=0$

q. $2x^{2}+3x-35=0$

r. $9x^{2}-30x+25=0$

s. $6y^{2}+7y-20=0$

t. $5y^{2}-23y-10=0$

u. $15-43y-6y^{2}=0$

Nomor 3

Untuk soal-soal berikut, ubahlah menjadi bentuk umum persamaan kuadrat, kemudian tentukan penyelesaiannya dengan cara memfaktorkan!

a. $\left ( x+6 \right )\left ( x-9 \right )=34$

b. $\left ( x+6 \right )^{2}+3x=0$

c. $\left ( x+6 \right )\left ( x-2 \right )=3\left ( x+10 \right )$

d. $\left ( 3x-6 \right )\left ( x+2 \right )=x^{2}+16$

Nomor 4

Salah satu akar dari akar dari persamaan $x^{2}+a\left ( ax-7 \right )+1=0$ adalah 2. susunlah persamaan dalam $a$, kemudian tentukan penyelesaiannya!

Nomor 5

Salah satu akar persamaan $ 2y^{2}+y+c=0$ adalah 4. Tentukan nilai $c$, kemudian tentukan penyelesaiannya!

2. MELENGKAPI KUADRAT SEMPURNA

Langkah-langkah 

1. Koefisen dari $x^{2}$ haruslah $1$, jika belum bernilai $1$, bagi dengan bilangan yang melekat pada $x^{2}$, sehingga koefisiennya bernilai 1
2. Tambahkan ruas kanan dan kiri dengan kuadrat setengah koefisien $x$
3. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, sedengkan ruas kanan disederhanakan.

LATIHAN SOAL

Selesaikan persamaan-persamaan berikut  dengan melengkapkan kuadrat sempurna

1. $x^{2}+8x=20$

2. $x^{2}-6x=16$

3. $x^{2}-4x=21$

4. $x^{2}+10x=24$

5. $x^{2}+4x-12=0$

6. $y^{2}-10y-24=0$

7. $y^{2}+12y+36=0$

8. $y^{2}-10y+25=0$

9. $y^{2}+3y-4=0$

10. $y^{2}-5y-24=0$

3. RUMUS $abc$

Rumus $abc$

Untuk $ ax^{2}+bx+c=0$

$a$ : koefisien dari $x^{2}$

$b$ : koefisien dari $x$

$c$ : konstanta

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

DISKRIMINAN PERSAMAAN KUADRAT

$D=b^{2}-4ac$

1. Jika $D>0$, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda
2. Jika $D=0$, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar
3. Jika $D<0$,  maka persamaan kuadrat tidak memiliki penyelesaian

LATIHAN SOAL 

Nomor 1

Tentukan akar atau penyelesaian dari persamaan-persamaan berikut dengan menggunakan rumus $abc$. Jika hasilnya berupa bilangan desimal, bulatkan sampai satu desimal!

a. $x^{2}+7x+12=0$

b. $x^{2}+11x+28=0$

c. $x^{2}-14x+49=0$

d. $x^{2}-12x+21=0$

e. $x^{2}+8x-29=0$

f. $y^{2}+9y-36=0$

g. $18+6y-y^{2}=0$

h. $22+9y-y^{2}=0$

i. $y\left ( y-11 \right )-42=0$

j. $y^{2}-4\left ( 2y-3 \right )=8$

k. $3x^{2}+14x+15=0$

l. $4x^{2}=20x+25=0$

m. $5x^{2}-18x+12=0$

Nomor 2

Tentukan nilai diskriminan dan jenis akar persamaan-persamaan kuadrat berikut!

a. $x^{2}+6x-5=0$

b. $x^{2}-8x+16=0$

c. $3x^{2}+5x+3=0$

d. $4x^{2}-12x+9=0$

e. $2x^{2}+6x-7=0$

f. $\frac{3}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x-2=0$

g. $x-\frac{6}{x}=\frac{5}{2}$

Nomor 3

Persamaan berikut memiliki diskriminan 48. Tentukan nilai $p$

a. $x^{2}+2px-3=0$

b. $\left ( p-1 \right )x^{2}+\left ( P+2 \right )x-1=0$

Nomor 4

Persamaan berikut memiliki akar kembar. Tentuka nilai $m$

a. $mx^{2}+2mx-1=0$

b. $x^{2}-3mx+\left ( 4m+1 \right )=0$

Nomor 5

Dengan menggunakan rumus penyelesaian persamaan kuadrat buktikan hal-hal berikut!

a. jika $x^{2}-2px+\left ( p^{2}-9 \right )=0$, maka $x=p+3$ atau $x=p-3$

b. Jika $y^{2}-6ay+\left ( 9a^{2}-1 \right )=0$, maka $y=3a+1$ dan $y=3a-1$

RUMUS HASIL JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT ;

Untuk $ ax^{2}+bx+c=0$

$a$ : koefisien dari $x^{2}$

$b$ : koefisien dari $x$

$c$ : konstanta

1. $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$
2. $x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}$

LATIHAN SOAL

Nomor 1

Pada persamaan $x^{2}+2x-15=0$, tentukan nilai akar-akar berikut!

a. $x_{1}+x_{2}$

b. $x_{1}\times x_{2}$

c. $4x_{1}+4x_{2}$

d. $5x_{1}\times 5x_{2}$

Nomor 2

Pada persamaan $y^{2}-8y+10=0$, tentukan nilai akar-akar berikut!

a. $y_{1}+y_{2}$

b. $3y_{1}+3y_{2}$

c. $y_{1}\times y_{2}$

d. $6y_{1}\times 6y_{2}$

e. $y_{1}\,^{^{2}}+y_{2}\,^{2}$

Nomor 3

Pada persamaan $2x^{2}-4x-6=0$, tentukan nilai akar-akar berikut!

a. $x_{1}\,^{^{2}}+x_{2}\,^{2}$

b. $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$

c. $\left ( 2x_{1} \right )^{2}+\left ( 2x_{2} \right )^{2}$

d. $\frac{1}{x_{1}\,^{2}}+\frac{1}{x_{2}\,^{2}}$

Nomor 4

Akar-akar persamaan $x^{2}+\left ( p+1 \right )x+3p=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Jika nilai $x_{1}\,^{^{2}}+x_{2}\,^{2}=85$, tentukan nilai $p$

Nomor 5

Akar-akar persamaan $y^{2}-py+18=0$ adalah $m$ dan $n$. Jika nilai $m=2n$, tentukan nilai $p$!

MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$, maka untuk meyusun persaman kuadrat dapat menggunakan rumus :

1. $\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )=0$  atau
2. $x^{2}-\left ( x_{1}+x_{2} \right )x+x_{1}\times x_{2}=0$

LATIHAN SOAL

Nomor 1

susunlah persamaan kuadrat dalam $x$ yang akar-akarnya sebagai berikut!

a. $7$ dan $11$

b. $5$ dan $-9$

c. $-10$ dan $5$

d. $-6$ dan $14$

e. $12$ dan $-12$

f. $-9$ dan $-20$

Nomor 2

Susunlah persamaan kuadrat dalam $y$ yang akar-akarnya dua lebihnya dari akar-akar persamaan berikut!

a. $x^{2}+7x-8=0$

b. $3x^{2}-6x-5=0$

Nomor 3

Akar-akar persamaan $2x^{2}+8x-5=0$ adalah $p$ dan $q$. Susunlah persamaan kuadrat dalam $y$ yang akar-akarnya sebagai berikut!

a. $2p+1$ dan $2q+1$

b. $3p-2$ dan $3q-2$

Nomor 4

Susunlah persamaan kuadrat dama $y$ yang akar-akarnya adalah kuadrat dari masing-masing akar persamaan berikut!

a. $x^{2}+9x+32=0$

b. $3x^{2}-6x-6=0$

Nomor 5

Susunlah persamaan kuadrat dalam $y$ yang akar-akarnya adalah kebalikan dari akar-akar persamaan berikut!

a. $x^{2}-12x+32=0$

b. $4x^{2}+8x-6=0$

PENERAPAN PERSAMAAN KUADRAT 

Nomor 1

Hasil kali dua bilangan ganjil positif berurutan adalah 143.

a. Jika bilangan pertama = $n$, tentukan bilangan kedua

b. Susunlah persamaan dalam $n$, kemudian selesaikanlah!

c. Tentukan kedua bilangan tersebut!

Nomor 2

Jumlah dua bilangan cacah 25, sedangkan hasil kalinya 154.

a. Jika bilangan pertama $y$, tentukan bilangan kedua

b. Susunlah persamaan dalam $y$, kemudian selesaikanlah!

c. Tentukan kedua bilangan tersebut!

Nomor 3

Sebuah karton berbentuk persegi panjang dengan luas 300 $cm^{2}$. Panjangnya lebih 5 cm dari lebarnya.

a. Jika panjangnya $p$ cm, tentukan lebar karton!

b. Susunlah persamaan dalam $p$, kemudian selesaikan!

c. Tentukan panjang dan lebar karton tersebut!

Nomor 4

Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku 17 cm. Panjang kedua sisi siku-sikunya berbeda 7 cm. Tentukan panjang kedua sisi siku-siku segitiga tersebut!

Nomor 5

Luas sebuah persegi panjang yang berukuran panjang $\left ( 3x-2 \right )$ cm dan lebarnya $\left ( x-2 \right )$ cm sama dengan luas persegi dengan panjang sisi $\left ( x+2 \right )$ cm. Tentukan panjang sisi persegi tersebut!

Nomor 6

Halaman sebuah rumah berbentuk persegi panjang. Keliling halaman rumah tersebut 50 m dan luas 150 $m^{2}$. Tentukan panjang dan lebar halaman rumah tersebut!

Nomor 7

Jumlah suatu bilangan dan kebalikannya adalah 2. Tentukan kedua bilangan tersebut!

Nomor 8

Dalam sebuah terjun payung, jarak vertikal $h$ meter yang dicapai payung setelah $t$ detik dinyatakan dengan rumus $h=40t-5t^{2}$. Tentukan waktu yang dibutuhkan payung tersebut untuk mencapai jarak vertikal 80 meter!

Nomor 9

Hitunglah nilai bentuk akar bilangan berikut!

$\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...}}}}}$

Nomor 10

Sebuah bola dilemparkan ke atas. Setelah $t$ detik dilemparkan, tinggi $h$ meter bola ditentukan dengan rumus $h=64t-16t^{2}$. Setelah berapa detikkah bola mencapai ketinggian 48 meter?

Nomor 11

Gambar di atas menunjukan bagian dari talang air yang dibentuk dari lembaran seng yang lebarnya 40 cm. Pada bagian tepi seng tersebut dilipat $x$ cm sehingga terbentuk penampang $ABCD$.

a. Tentukan luas penampang talang tersebut dinyatakan dalam $x$

b. Tentukan tinggi dan lebar talang jika luas penampang tersebut 150 $cm^{2}$

Nomor 12

Gambar di bawah menunjukan segitiga siku-siku dengan panjang sisi $ \left ( x-5 \right )$ cm, $ \left ( x+2 \right )$ cm, dan $ \left ( x+3 \right )$ cm.

Tentukan luas segitiga tersebut!

Nomor 13

Sebuah segitiga siku-siku $ABC$ diketahui siku-siku di $B$. Jika panjang sisi $ AB=\left ( 3x-1 \right )$ cm, $ BC=\left ( 7x-2 \right )$ cm dan $ AC=\left ( 5x+3 \right )$ cm. Tentukan luas dan keliling segitiga tersebut!